ハイパス・フィルターの計算

ラプラス変換の性質をあまり利用せず愚直にローパス回路の計算をしてみました

ハイパスフィルター

設定

以下のような典型的なハイパスフィルター回路における、VoutとVinの比を計算する

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計算

上の回路図の電圧の動きに着目すると

$V _ {in}(t) = \frac{1}{C}\int I(t)dt + V _ {out}(t)$

である。 $V _ {out}$ の部分は出力電圧を測定するのみで、電流は流れないと考えると、抵抗側にも $I(t)$ の電流が流れるから $V _ {out}(t) = RI(t)$ の関係が成り立ち、

$V _ {in}(t) = \frac{1}{RC}\int _ {-\infty} ^{t} V _ {out}(t')dt' + V _ {out}(t)$

を得る。

ここで、ラプラス変換

$F(s) = \int_0 ^\infty f(t)e ^{-st}dt$

の逆変換

$\lim_{p\to \infty}\frac{1}{2\pi i}\int _ {c-ip} ^{c+ip}f(t)e ^{st}dt$

を行うと、

$\int V _ {in}(s)e^{st}ds = \frac{1}{RC}\int V _ {out}(s)\left(\int _ {-\infty} ^{t} e ^{st'}dt'\right)ds + \int V _ {out}(s)e ^{st}ds$

となる。

さらに右辺第一項の t' 積分は

$\int _ {-\infty} ^{t} e ^{st'}dt' = \left[\frac{1}{s} e ^{st'}\right] _ {t'=-\infty} ^{t'=t} = \frac{1}{s}e ^{st}$

となる。（ここで t 積分が簡単に消えてs依存性に代わるところがラプラス変換のすごいところ！）

よって最終的に

$\int V _ {in}(s)e ^{st}ds = \frac{1}{sRC}\int V _ {out}(s)e ^{st}ds + \int V _ {out}(s)e ^{st}ds$

と変形できる。

中身を比較して（ラプラス変換してラプラス変換をすると元に戻るという性質より）

$V _ {in}(s) = \left(\frac{1}{sRC} + 1\right)V _ {out}(t)$

となる。

解釈

形式的に $s = i\omega$ とすると、

$\left|\frac{V _ {out}}{V _ {in}}\right| = \left|\frac{1}{\frac{1}{i\omega RC} + 1}\right| = \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{1}{\omega RC}) ^2}}$

が成り立つ。この関係式は

$\left|\frac{V _ {out}}{V _ {in}}\right| \to 0 \quad (\omega\to 0)$ $\left|\frac{V _ {out}}{V _ {in}}\right| \to 1 \quad (\omega\to\infty)$

なので、確かにハイパス（高周波数だけ通す）の役割を果たしている

ローパスフィルター

ローパスフィルターは典型的には下のような回路で与えられる

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ハイパスの時と同様に計算を進めると

$\left|\frac{V _ {out}}{V _ {in}}\right| = \left|\frac{1}{\frac{i\omega L}{R} + 1}\right| = \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\omega L}{R}) ^2}}$

を得る

おわりに

今回回路図は、VSCodeの拡張機能(drawio)を用いて作成しました

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日々学んだことをアウトプットする場として初めてみました

ハイパス・フィルター/ローパス・フィルターの計算

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